Кватернион

Кватернион
Дата основания / создания / возникновения	1843[1]
Первооткрыватель или изобретатель	Уильям Роуэн Гамильтон[1]
Дата открытия	1843
Описывающая закон или теорему формула	${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$
Описан по ссылке	treccani.it/enciclopedia…
Медиафайлы на Викискладе

Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.^[2]

Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»^[3].

Определения[ | ]

Стандартное[ | ]

Кватернионы можно определить как сумму

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

где ${\displaystyle a,b,c,d}$ — вещественные числа

${\displaystyle i,j,k}$ — мнимые единицы со следующим свойством: ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$, при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным): ${\displaystyle ij=k}$, a ${\displaystyle ji=-k}$.

Таблица умножения базисных кватернионов ${\displaystyle 1,i,j,k}$

X	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Как вектор и скаляр[ | ]

Кватернион представляет собой пару ${\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right),}$ где ${\displaystyle {\vec {u}}}$ — вектор трёхмерного пространства, а ${\displaystyle a}$ — скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

${\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+{\vec {v}}\right).}$

Произведение определяется следующим образом:

${\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right),}$

где ${\displaystyle \cdot }$ обозначает скалярное произведение, а ${\displaystyle \times }$ — векторное произведение.

В частности,

${\displaystyle \left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\right)=\left(0,a{\vec {v}}\right),}$

${\displaystyle \left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right),}$

${\displaystyle \left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right).}$

Заметим, что:

• Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством дистрибутивности;
• Антикоммутативность векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Через комплексные числа[ | ]

Произвольный кватернион ${\displaystyle \ q=a+bi+cj+dk}$ можно представить как пару комплексных чисел в виде

${\displaystyle \ q=(a+bi)+(c+di)j}$

или эквивалентно

${\displaystyle \ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,}$

где ${\displaystyle \ z_{1},z_{2}}$ — комплексные числа, поскольку ${\displaystyle \ i^{2}=-1}$ выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а ${\displaystyle k=ij}$.

Через матричные представления[ | ]

Вещественными матрицами[ | ]

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$

При такой записи:

• сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:

  ${\displaystyle {\bar {q}}\mapsto Q^{T}}$;

• четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

  ${\displaystyle \left|q\right|^{4}=\det Q.}$

Комплексными матрицами[ | ]

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},}$

здесь ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ и ${\displaystyle {\bar {\beta }}}$ обозначают комплексно-сопряжённые числа к ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$.

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

• комплексному числу соответствует диагональная матрица;
• сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:

  ${\displaystyle {\bar {q}}\mapsto {\bar {Q}}^{T}}$;

• квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

  ${\displaystyle \left|q\right|^{2}=\det Q.}$

Связанные объекты и операции[ | ]

Для кватерниона

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

кватернион ${\displaystyle a}$ называется скалярной частью ${\displaystyle q,}$ а кватернион ${\displaystyle u=bi+cj+dk}$ — векторной частью. Если ${\displaystyle u=0,}$ то кватернион называется чисто скалярным, а при ${\displaystyle a=0}$ — чисто векторным.

Сопряжение[ | ]

Для кватерниона ${\displaystyle q}$ сопряжённым называется:

${\displaystyle {\bar {q}}=a-bi-cj-dk.}$

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

${\displaystyle {\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}.}$

Для кватернионов справедливо равенство

${\displaystyle {\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk).}$

Модуль[ | ]

Так же, как и для комплексных чисел,

${\displaystyle \left|q\right|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$

называется модулем ${\displaystyle q}$. Если ${\displaystyle \left|q\right|=1,}$ то ${\displaystyle q}$ называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: ${\displaystyle \left\|z\right\|=\left|z\right|}$.

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что ${\displaystyle \left|p\cdot q\right|=\left|p\right|\cdot \left|q\right|,}$ иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Обращение умножения (деление)[ | ]

Кватернион, обратный по умножению к ${\displaystyle q}$, вычисляется так: ${\displaystyle q^{-1}={\frac {\bar {q}}{\left|q\right|^{2}}}}$.

Алгебраические свойства[ | ]

Множество кватернионов является примером тела, то есть кольца с делением и единицей. Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел.

По теореме Фробениуса тела ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {H} }$ являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение ${\displaystyle q^{2}+1=0}$ имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

${\displaystyle Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\}.}$

Кватернионы и повороты пространства[ | ]

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно ${\displaystyle 0}$ может быть записан в виде ${\displaystyle q\mapsto \xi q\zeta }$, где ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \zeta }$ — пара единичных кватернионов, при этом пара ${\displaystyle \left(\xi ,\zeta \right)}$ определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — ${\displaystyle \left(\xi ,\zeta \right)}$ и ${\displaystyle \left(-\xi ,-\zeta \right)}$. Из этого следует, что группа Ли ${\displaystyle {\text{SO}}\left(\mathbb {R} ,4\right)}$ поворотов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ есть факторгруппа ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}/\mathbb {Z} _{2}}$, где ${\displaystyle S^{3}}$ обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно ${\displaystyle 0}$ может быть записан в виде ${\displaystyle u\mapsto \xi u{\bar {\xi }}}$, где ${\displaystyle \xi }$ — некоторый единичный кватернион. Соответственно, ${\displaystyle {\text{SO}}\left(\mathbb {R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb {Z} _{2}}$, в частности, ${\displaystyle {\text{SO}}\left(\mathbb {R} ,3\right)}$ диффеоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{3}}$.

«Целые» кватернионы[ | ]

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: ${\displaystyle \left\|z\right\|=\left|z\right|^{2}}$.

Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$ такие, что все ${\displaystyle 2a,2b,2c,2d}$ — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

• чётным
• нечётным
• простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме ${\displaystyle 1}$, нацело (иными словами, ${\displaystyle \gcd \left(2a,2b,2c,2d\right)\leq 2}$).

Целые единичные кватернионы[ | ]

Существует 24 целых единичных кватерниона:

${\displaystyle \pm 1}$; ${\displaystyle \pm i}$; ${\displaystyle \pm j}$; ${\displaystyle \pm k}$; ${\displaystyle {\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2}}.}$

Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4х-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3х-мерным многогранником-кубооктаэдром).

Разложение на простые сомножители[ | ]

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.^[4] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона ${\displaystyle N(q)}$ в произведение простых целых положительных чисел ${\displaystyle N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}}$ существует разложение кватерниона ${\displaystyle q}$ в произведение простых кватернионов ${\displaystyle q=q_{1}q_{2}...q_{n}}$ такое, что ${\displaystyle N(q_{i})=p_{i}}$. Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

${\displaystyle q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar {\epsilon }}_{n-1}q_{n}\right)}$,

где ${\displaystyle \epsilon _{1}}$, ${\displaystyle \epsilon _{2}}$, ${\displaystyle \epsilon _{3}}$, … ${\displaystyle \epsilon _{n-1}}$ — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион ${\displaystyle q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)}$ имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

${\displaystyle 60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2}$

${\displaystyle 60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2}$

Общее число разложений такого кватерниона равно ${\displaystyle 24^{3}\cdot 12=165888}$

Функции кватернионного переменного[ | ]

Вспомогательные функции[ | ]

Знак кватерниона вычисляется так:

${\displaystyle \operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.}$

Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:

${\displaystyle \arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.}$

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона ${\displaystyle q}$ в виде

${\displaystyle q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \,q}.}$

Здесь ${\displaystyle a}$ — вещественная часть кватерниона, ${\displaystyle \mathrm {i} =\left|\mathbf {u} \right|^{-1}\mathbf {u} }$. При этом ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$, поэтому проходящая через ${\displaystyle q}$ и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид ${\displaystyle a+b\mathrm {i} }$ для фиксированного единичного вектора ${\displaystyle \mathrm {i} }$. В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Элементарные функции[ | ]

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если ${\displaystyle f(a+b\mathrm {i} )=c+d\mathrm {i} }$ для комплексных чисел, то ${\displaystyle f(q)=c+d\mathbf {i} }$, где кватернион ${\displaystyle q}$ рассматривается в «комплексном» представлении ${\displaystyle q=a+b\mathbf {i} }$.

Степень и логарифм

${\displaystyle \exp q=\exp a\left(\cos \left|\mathbf {u} \right|+\sin \left|\mathbf {u} \right|{\hat {\mathbf {u} }}\right)}$

${\displaystyle \ln q=\ln \left|q\right|+\arg q\,{\hat {\mathbf {u} }}}$

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до ${\displaystyle 2\pi {\hat {\mathbf {u} }}}$.

Тригонометрические функции

${\displaystyle \sin q=\sin a\,\operatorname {ch} \left|\mathbf {u} \right|+\cos a\,\operatorname {sh} \left|\mathbf {u} \right|{\hat {\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle \cos q=\cos a\,\operatorname {ch} \left|\mathbf {u} \right|-\sin a\,\operatorname {sh} \left|\mathbf {u} \right|{\hat {\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,q={\frac {\sin q}{\cos q}}}$

Линейное отображение[ | ]

Отображение ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

${\displaystyle f(ax)=af(x)}$

${\displaystyle x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R} }$

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — поле действительных чисел. Если ${\displaystyle f}$ является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$ отображение

${\displaystyle (afb)(x)=af(x)b}$

является линейным отображением. Если ${\displaystyle f}$ — тождественное отображение (${\displaystyle f(x)=x}$), то для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$ мы можем отождествить тензорное произведение ${\displaystyle a\otimes b}$ с отображением

${\displaystyle (a\otimes b)\circ x=axb}$

Для любого линейного отображения ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ существует тензор ${\displaystyle a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H} }$, ${\displaystyle a=a_{s0}\otimes a_{s1}}$, такой, что

${\displaystyle f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1}}$

В приведенных выше равенствах предполагается суммирование по индексу ${\displaystyle s}$. Поэтому мы можем отождествить линейное отображение ${\displaystyle f}$ и тензор ${\displaystyle a}$.

Регулярные функции[ | ]

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию ${\displaystyle f}$ как имеющую предел

${\displaystyle {\frac {df}{dq}}=\lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f\left(q+h\right)-f\left(q\right)\right)\right]}$

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки ${\displaystyle q}$ вид

${\displaystyle f=a+qb}$

где ${\displaystyle a,b}$ — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}={\frac {\partial }{\partial t}}-{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

и рассмотрении таких кватернионных функций ${\displaystyle f}$, для которых^[5]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}=0}$

что полностью аналогично использованию операторов ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций^[6].

Дифференцирование отображений[ | ]

Непрерывное отображение ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ называется дифференцируемым на множестве ${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$, если в каждой точке ${\displaystyle x\in U}$ изменение отображения ${\displaystyle f}$ может быть представлено в виде

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)}$

где

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

линейное отображение алгебры кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} }$ и ${\displaystyle o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ такое непрерывное отображение, что

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0}$

Линейное отображение ${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}}$ называется производной отображения ${\displaystyle f}$.

Производная может быть представлена в виде^[7]

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Соответственно дифференциал отображения ${\displaystyle f}$ имеет вид

df=${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Здесь предполагается суммирование по индексу ${\displaystyle s}$. Число слагаемых зависит от выбора функции ${\displaystyle f}$. Выражения ${\displaystyle {\frac {d_{s0}df(x)}{dx}}}$ и ${\displaystyle {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$ называются компонентами производной.

Для произвольного кватерниона ${\displaystyle a}$ верно равенство

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))}$

Виды умножений[ | ]

Умножение Грассмана[ | ]

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов (${\displaystyle pq}$).

Евклидово умножение[ | ]

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: ${\displaystyle {\bar {p}}q}$. Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение[ | ]

Аналогично одноимённой операции для векторов:

${\displaystyle p\cdot q={\frac {{\bar {p}}q+{\bar {q}}p}{2}}}$.

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, ${\displaystyle \left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b}$.

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

${\displaystyle \left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}}$.

Внешнее произведение[ | ]

${\displaystyle \operatorname {Outer} \left(p,q\right)={\frac {{\bar {p}}q-{\bar {q}}p}{2}}}$.

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение[ | ]

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

${\displaystyle p\times q={\frac {pq-qp}{2}}}$.

Из истории[ | ]

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам.^[9]

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.^[10] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).

Современное применение[ | ]

В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике^[11] и теории относительности^[12]. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр^[13], а также в вычислительной механике^[14][15], в инерциальной навигации и теории управления^[16][17]. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»^[18].

Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление^[19]. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается^[14][15].

Как алгебра над ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$, кватернионы образуют вещественное векторное пространство ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$, снабжённое тензором третьего ранга ${\displaystyle S}$ типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, ${\displaystyle S}$ отображает каждую 1-форму ${\displaystyle t}$ на ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$ и пару векторов ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ из ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$ в вещественное число ${\displaystyle S\left(t,a,b\right)}$. Для любой фиксированной 1-формы ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$ превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$. В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы ${\displaystyle t}$, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского^[20]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику^[21] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации^[22].

См. также[ | ]

• Кватернионы и вращение пространства
• Кватернионный анализ
• Октонионы
• Теорема Фробениуса
• Шарнирный клин

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гиперкомплексные числа (недоступная ссылка). — М.: Наука, 1973. — 144 с.
• Мищенко А., Соловьев Ю. Кватернионы, — Квант, N9, 1983.
• Martin John Baker EuclideanSpace.com — применение кватернионов в 3D графике.
• Кватернионы. Кватеры.
• Ватульян А. О. Кватернионы // Соросовский образовательный журнал. — 1999. — № 5. — С. 117-120.
• Джон Х.Конвей, Дерек А.Смит. О кватернионах и октавах: об их геометрии, арифметике и симметриях. - М.: МЦНМО, 2009. - 184 с. ISBN 978-5-94057-517-7