Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара , где  — множество, а  — некоторая -алгебра его подмножеств. [1]


Основные сведения[ | ]

Под измеримым топологическим пространством понимается измеримое пространство , в котором выбрана - алгебра , порождённая некоторой базой множеств топологического пространства X. Минимальная - алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской - алгеброй пространства X; при этом множества называются борелевскими.

Измеримое пространство называется сепарабельным, если существует некоторая счётная система множеств , отделяющая точки пространства и порождающая соответствующую - алгебру . Говорят, что система множеств , отделяет точки пространства , если для любых найдутся непересекающиеся множества такие, что .

Произведением измеримых пространств и называется измеримое пространство , , в котором - алгебра , порождена произведением - алгебр и , т.е. порождается полукольцом всевозможных прямоугольных множеств вида , где , .

Пусть — некоторое измеримое пространство, а — конечное множество индексов . Измеримое пространство , где является - кратным произведением пространства само на себя, а - алгебра есть - кратное произведение соответствующих - алгебр , называется измеримым координатным пространством. Точки этого пространства задаются координатами . Если произвольное множество, то координатное пространство определяется как совокупность всех функций на множестве со значениями в пространстве ( отдельные значения можно интерпретировать как координаты точки , принадлежащей пространству ).

Пусть - произвольные точки множества , где - конечное число, и - произвольные подмножества пространства . Множество вида

,

принадлежащие пространству , называется цилиндрическим множеством в . Другими словами, цилиндрическое множество состоит из тех и только тех точек , координаты которых входит в соответствующие множества . Система всех цилиндрических множеств, для которых входят в - алгебру пространства , представляют собой полукольцо . Измеримым координатным пространством называется пространство с - алгеброй , порождённой полукольцом .

Пусть , - алгебра, порождённая полукольцом всевозможных цилиндрических множеств с произвольными индексами . Если точка пространства входит во множество из и другая точка такова, что соответствующие координаты этих точек совпадают: при всех , то также входит в . Всякое множество A из - алгебры принадлежит одновременно некоторой - алгебры , где - некоторое счётное множество ( зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого множества S).

Пусть - функция на измеримом пространстве со значениями в произвольном пространстве . Совокупность всех множеств таких, что прообразы входят в -алгебру пространства является -алгеброй.

Пусть произвольное пространство и - функция на со значениями в измеримом пространстве . Совокупность всех множеств являющихся прообразами из - алгебры : является -алгеброй.

Пусть , — измеримые пространства. Функция называется ( ) измеримой, если для прообраз входит в -алгебру . Если некоторая система множеств, порождающая -алгебру , то функция является измеримой тогда, и только тогда, когда для любого прообраз входит в .

Примечание[ | ]

  1. 1 2 Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. - 496 стр.