Измеримая функция

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.


Определение[ | ]

Пусть и — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция называется -измеримой, или просто измеримой, если прообраз любого множества из принадлежит , то есть

где означает прообраз множества .

Замечания[ | ]

  • Если и топологические пространства, и алгебры и явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
  • Смысл данного определения в том, что если на множестве задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество .

Вещественнозначные измеримые функции[ | ]

Пусть дана функция . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

  • Функция измерима, если
    .
  • Функция измерима, если
    , таких что , имеем ,
где обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения[ | ]

  • Пусть и — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция называется борелевской.
  • Измеримая функция , где множество элементарных исходов, а — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой .

Примеры[ | ]

  • Пусть непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
  • Пусть и индикатор множества Тогда функция не является измеримой.

Свойства[ | ]

  • Теорема Лузина. Функция измерима тогда и только тогда, когда для любого существует непрерывная функция отличающаяся от на множестве меры не больше .

История[ | ]

В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега. Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература[ | ]