Замкнутое множество

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.

Определение[ | ]

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$. Множество ${\displaystyle V\subset X}$ называется замкнутым относительно топологии ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, если существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ такое, что ${\displaystyle U=X\setminus V}$.

Замыкание[ | ]

Замыканием множества ${\displaystyle U}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называют минимальное по включению замкнутое множество ${\displaystyle Z}$, содержащее ${\displaystyle U}$.

Замыкание множества ${\displaystyle U\subset X}$ обычно обозначается ${\displaystyle {\bar {U}}}$, ${\displaystyle \mathop {\rm {Cl}} U}$ или ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{X}U}$; последнее обозначение используется, если надо подчеркнуть, что ${\displaystyle {\bar {U}}}$ рассматривается как множество в пространстве ${\displaystyle X}$.

Свойства[ | ]

• Множество ${\displaystyle U}$ замкнуто тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\bar {U}}=U}$.
• Всякое замкнутое множество на числовой прямой либо конечно, либо счётно, либо имеет мощность континуума^[1]

Примеры[ | ]

• Пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
• Отрезок ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
• Множество ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ замкнуто в пространстве рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Вариации и обобщения[ | ]

• Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве ${\displaystyle F}$  содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества ${\displaystyle F}$ ^[2].

См. также[ | ]

• Открытое множество
• Замыкание (геометрия)

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

• Завало С. Т.  Елементи аналізу. Алгебра многочленів. — Київ: Радянська школа, 1972.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В.  Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 575 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Фихтенгольц Г. М.  Основы математического анализа. — М.: Наука, 1954.