Единичная матрица

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Определение[ | ]

Квадратная матрица ${\displaystyle E_{n}=(e_{ij})}$ размера (порядка) ${\displaystyle n}$, где ${\displaystyle e_{ii}=1}$ для всякого ${\displaystyle i\in {\overline {1,n}}}$, и ${\displaystyle e_{ij}=0}$ для всяких ${\displaystyle i\neq j}$, называется единичной матрицей порядка ${\displaystyle n}$.

Единичную матрицу можно определить как матрицу ${\displaystyle (e_{ij})}$, у которой ${\displaystyle e_{ij}=\delta _{ij}}$, где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Обозначение[ | ]

Единичная матрица размера ${\displaystyle n\times n}$ обычно обозначается ${\displaystyle E_{n}}$ и имеет вид:

${\displaystyle E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},}$

Так же используется и другое обозначение: ${\displaystyle I_{n}}$.

Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle I}$.

Свойства[ | ]

• Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:

${\displaystyle AE=EA=A}$

• Квадратная матрица в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера:

${\displaystyle A^{0}=E}$

• При умножении матрицы на обратную ей тоже получается единичная матрица:

${\displaystyle AA^{-1}=E}$

• Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу:

${\displaystyle AA^{T}=E}$

• Определитель единичной матрицы равен единице:

${\displaystyle \mathrm {det} \,E=1}$.

Примеры[ | ]

Единичные матрицы первых порядков имеют вид

${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Литература[ | ]

• См. список литературы по линейной алгебре

См. также[ | ]

• Нулевая матрица

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.