Дифференциальный бином

В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа. Представляет интерес интеграл от дифференциального бинома:


Свойства[ | ]

Выразимость интеграла в элементарных функциях[ | ]

Линии, проходящие через точку (-1,0), которым принадлежат точки (m,n), где m,n — рациональные числа, удовлетворяющие второму условию интегрируемости дифференциального бинома
Гиперболические параболоиды, которым принадлежат точки (m,n,p), где m,n,p — рациональные числа, удовлетворяющие третьему условию интегрируемости дифференциального бинома

Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:

  •  — целое число. Используется подстановка ,  — общий знаменатель дробей и ;
  •  — целое число. Используется подстановка ,  — знаменатель дроби .
  •  — целое число. Используется подстановка ,  — знаменатель дроби .

Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией[ | ]

Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:

где , а также через гипергеометрическую функцию:

Примеры[ | ]

Интеграл

не выражается в элементарных функциях, здесь , и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.

В то же время интеграл

,

как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь , и , то есть является целым числом.

История[ | ]

Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году[1].

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (фр.) // Journal de mathématiques pures et appliquées (англ.) : magazine. — 1853. — Vol. XVIII. — P. 87—111.

Ссылки[ | ]