Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину , искомую функцию и её производные, то есть соотношение вида:

Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией от переменной и её производными.


Дифференциальное уравнение Лагранжа[ | ]

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

где и  — известные функции от , причём считаем, что функция отлична от . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных и .

Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр . Тогда уравнение можно записать в виде:


Замечая, что продифференцируем обе части этого уравнения по :

Преобразуем его в виде

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении , удовлетворяющему условию . В самом деле, при любом постоянном значении , производная тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению , то есть, , является линейной функцией от , поскольку производная , постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство значение , то есть

.

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение в виде

и будем считать , как функцию от . Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции от . Решая его, найдём

Исключая параметр из уравнений и найдём общий интеграл уравнения в виде

.

Дифференциальное уравнение Клеро[ | ]

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.

Положим . Тогда

Продифференцируем это уравнение по , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что , пишем

Преобразуем его к виду

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

и

Интегрируя уравнение получим . Подставим значение в уравнение найдём его общий интеграл

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения найдём как функцию от , затем подставим её в уравнение , то получим функцию

Которая, как легко показать, является решением уравнения . Действительно, в силу равенства находим

Но поскольку , то . Поэтому подставляя функцию в уравнение , получаем тождество

.

Решение не получается из общего интеграла ни при каком значении произвольной постоянной . Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра из уравнений

и

или, что без разницы, исключением из уравнений

и

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом .

Приложения уравнения Клеро.[ | ]

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

или

Любое свойство касательной выражается соотношением между и :

Решая его относительно , придём к уравнению вида

, то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

Литература[ | ]

В. И. Смирнов «Курс высшей математики», том второй, издательство «Наука», Москва 1974.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985

К. Н. Лунгу, В. П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

См. также[ | ]

Ссылки[ | ]