Дифференциальное уравнение Бесселя

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0,}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle (-\alpha )}$ порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ${\displaystyle \alpha }$).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Применения[ | ]

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны;
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения[ | ]

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода[ | ]

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$, являются решения, конечные в точке ${\displaystyle x=0}$ при целых или неотрицательных ${\displaystyle \alpha }$. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ${\displaystyle \alpha }$):

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.}$

Здесь ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}$, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к ${\displaystyle \pi }$ при ${\displaystyle x\to \infty }$)^[1].

Ниже приведены графики ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ для ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$:

Если ${\displaystyle \alpha }$ не является целым числом, функции ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ и ${\displaystyle J_{-\alpha }(x)}$ линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если ${\displaystyle \alpha }$ целое, то верно следующее соотношение:

${\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).}$

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя[ | ]

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений ${\displaystyle \alpha }$, используя интегральное представление:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau .}$

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .}$

Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых ${\displaystyle \alpha }$ необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является ${\displaystyle 2\pi }$-периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle 1}$, где ${\displaystyle \phi =-\pi }$, окружность единичного радиуса и луч от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle +\infty }$ при ${\displaystyle \phi =\pi }$. Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\phi )-\alpha \phi )}d\phi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r}})}}{{}r^{\alpha +1}}}dr.}$

Нетрудно убедиться, что при целых ${\displaystyle \alpha }$ это выражение переходит в предыдущую формулу.

Функции Неймана[ | ]

Функции Неймана — решения ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ уравнения Бесселя, бесконечные в точке ${\displaystyle x=0}$.

Эта функция связана с ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ следующим соотношением:

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},}$

где в случае целого ${\displaystyle \alpha }$ берётся предел по ${\displaystyle \alpha }$, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

${\displaystyle y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).}$

Ниже приведён график ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ для ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$:

В ряде книг функции Неймана обозначаются ${\displaystyle N_{\alpha }(x)}$.

Сферические функции Бесселя[ | ]

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных, уравнение на радиальную часть имеет вид

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$

Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя j_n и y_n, и связаны с обычными функциями Бесселя J_n и Неймана Y_n с помощью^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$

y_n также обозначается n_n или η_n; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана.

Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (формула Релея)^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$

Несколько первых сферических функций Бесселя^[4]:

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}},\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}~{\text{—}}\end{aligned}}}$

и Неймана^[5]:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$

Производящие функции[ | ]

Производящие функции сферических функций Бесселя^[6]:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$

Дифференциальные соотношения[ | ]

В следующих формулах f_n может быть заменено на j_n, y_n, h(1)
n, h(2)
n, где h(1)
n и h(2)
n — сферические функции Ханкеля, для n = 0, ±1, ±2, ...^[7]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$

Свойства[ | ]

Ортогональность[ | ]

Пусть ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ — нули функции Бесселя ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$. Тогда^[1]:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.}$.

Асимптотика[ | ]

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах ${\displaystyle (0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})}$ и неотрицательных ${\displaystyle \alpha }$ они выглядят так^[8]:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha },}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов (${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$) формулы выглядят так:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right),}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:

${\displaystyle J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos(x-{\frac {\pi }{4}})+{\frac {1}{4x{\sqrt {2\pi x}}}}\sin(x-{\frac {\pi }{4}}).}$

Гипергеометрический ряд[ | ]

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).}$

Таким образом, при целых ${\displaystyle \alpha }$ функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция[ | ]

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

${\displaystyle e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}.}$

Соотношения[ | ]

Формула Якоби — Ангера и связанные с ней[ | ]

Получается выражения для производящей функции при ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle w=e^{i\phi }}$^[9]:

${\displaystyle e^{iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )+2i\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi .}$

При ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle t=ie^{i\phi }}$^[9]:

${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos(n\phi ).}$

Рекуррентные соотношения[ | ]

Для функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:

${\displaystyle J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x}}J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);}$

${\displaystyle J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);}$

${\displaystyle J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)}$^[10]${\displaystyle .}$

Теорема сложения[ | ]

Для любого целого n и комплексных ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ выполняется^[11]

${\displaystyle J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{n-k}(z_{2}).}$

Интегральные выражения[ | ]

Для любых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (в том числе комплексных) выполняется^[12]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{n}(bt)\mathrm {d} t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.}$

Частным случаем последней формулы является выражение

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{0}(bt)\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

См. также[ | ]

• Цилиндрические функции
• Сферические функции
• Модифицированные функции Бесселя
• Луч Бесселя

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

• Ватсон Г. . Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. . Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. . Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.