Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.


Скалярные операторы[ | ]

Пусть — поле, — алгебра над полем , коммутативная и с единицей и -линейное отображение, . Всякий элемент алгебры можно понимать как оператор умножения: . Операторы и , вообще говоря, не коммутируют и равенство будет выполняться в том и только том случае, когда -гомоморфизм.

Определение 1. называется дифференциальным оператором (ДО) порядка из в , если для любых

Множество всех ДО порядка из в обозначается . Сумма двух ДО порядка будет снова ДО порядка и множество устойчиво относительно как левого, так и правого умножения на элементы алгебры , поэтому оно снабжается естественной структурой бимодуля над .

Дифференцирования[ | ]

Точками алгебры называются -гомоморфизмы из в . Обозначим множество всех точек алгебры , снабженное топологией Зарисского, через . Элементы алгебры можно понимать как функции на пространстве , положив .

Определение 2. Отображение называется касательным вектором к пространству в~точке , если оно удовлетворяет правилу Лейбница в этой точке:

Множество всех касательных векторов в~точке обладает естественной структурой векторного пространства над . Оно называется касательным пространством пространства в точке .

Определение 3. Отображение называется дифференцированием алгебры со значениями в , если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

Множество всех дифференцирований алгебры со значениями в обладает естественной структурой левого -модуля. (Правое умножение не сохраняет это множество.) Всякое дифференцирование определяет семейство касательных векторов для всех точек : .

Дифференцирования, естественно, являются ДО порядка :

.

Определен естественный изоморфизм левых -модулей

Гладкие функции[ | ]

Если — алгебра гладких функций на многообразии , то естественным образом наделяется структурой гладкого многообразия и оказывается, что .

Теорема. Пусть и — система локальных координат в некоторой окрестности . Тогда ограничения и на могут быть записаны в следующем виде

Иными словами, для алгебры гладких функций на М "алгебраическое" определение ДО совпадает с классическим, а дифференцирования алгебры — это векторные поля на .

Общий случай[ | ]

Пусть — модули над . Определения 1 и 3 без изменений переносятся на этот случай:

Определение 4. -гомоморфизм называется линейным дифференциальным оператором порядка из в~, если для любых

Определение 5. Отображение называется дифференцированием алгебры со значениями в , если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

Множество всех ДО порядка из в является бимодулем над , а множество всех дифференцирований в — левым -модулем.


Если — алгебра гладких функций на многообразии , то проективные конечнопорождённые -модули есть не что иное, как модули сечений конечномерных векторных расслоений над . В этом случае определение 4 описывает ДО на векторнозначных функциях, переводящие их в векторнозначные функции, а определение 5 — векторнозначные векторные поля.

Представляющие объекты и геометризация[ | ]

Функторы и представимы:

Теорема. 1. Существуют единственные -модуль и дифференцирование , такие, что для любого -модуля имеет место естественный изоморфизм

2. Существуют единственные -модуль и ДО порядка , такие, что для любого -модуля имеет место естественный изоморфизм

Дифференцирование и ДО называются универсальным дифференцированием и универсальным ДО порядка соответственно, а модули и модулем дифференциальных форм первого порядка и модулем джетов порядка . (Иногда вместо термина "джет" употребляют термин "струя".)

Модули и довольно просто описываются "на пальцах". Именно, -модуль порожден всевозможными элементами вида , для которых выполнены следующие соотношения:

,
,
где , и так далее.

Аналогично, -модуль порожден всевозможными элементами вида , для которых выполнены следующие соотношения:

,
.

Естественно было бы и здесь ожидать, что для алгебры дифференциальные формы окажутся "обычными" дифференциальными формами на многообразии , а джеты — "обычными" джетами, но это не так. Причиной тому является существование в алгебраических конструкциях невидимых элементов, то есть ненулевых элементов, которые, тем не менее, равны нулю в каждой точке многообразия . Например, пусть , дифференциальная форма отлична от нуля, но . Модули над , не содержащие невидимых элементов, называют геометрическими. Для любого -модуля множество всех невидимых элементов образует подмодуль, фактор по которому является геометрическим модулем и обозначается . Модули и , где — геометрический модуль, будут представляющими объектами для функторов и в категории геометрических модулей над . Они оказываются изоморфными модулю "обычных" дифференциальных форм и модулю "обычных" джетов соответственно.

Градуированные алгебры[ | ]

Эта теория легко переносятся на случай градуированных алгебр (в старой терминологии — супералгебр), где, в частности, дает новый взгляд на такие конструкции, как интегральные формы и интеграл Березина.

Приложения[ | ]

Тот факт, что дифференциальное исчисление является разделом коммутативной алгебры, интересен сам по себе и тесно связан с одним из важнейших физических понятий --- понятием наблюдаемой. Инвариантные алгебраические конструкции позволяют работать там, где классический координатный подход слишком громоздок, или вообще невозможен, например в случае многообразий с особенностями или бесконечномерных. Они используются в гамильтоновой и лагранжевой механике, теории законов сохранения, вторичном исчислении, не говоря уже об алгебраической и дифференциальной геометрии.

Историческая справка[ | ]

Определение ДО в категории модулей над коммутативными алгебрами появилось, независимо друг от друга, в работах П. Габриеля[1], С. Судзуки[2] и А. М. Виноградова[3]. Однако всю важность алгебраического подхода к ДО, видимо, осознал только А. М. Виноградов и основной вклад в развитие этой теории внесен им и его учениками.

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. P. Gabriel, Construction de préschémas-quotients (d’après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie algébrique du Bois Marie (1962-1964), Lect. Notes in Math. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
  2. Satoshi Suzuki, Differentials of commutative rings, Queen's University papers in pure and applied mathematics, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
  3. А. М. Виноградов, Алгебра логики теории линейных дифференциальных операторов, ДАН 205:5 (1972), 1025-1028.

Литература[ | ]