Дивизор (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий некоторого алгебраического многообразия коразмерности 1. Существуют два различных таких обобщения — дивизоры Вейля и дивизоры Картье (названы в честь Андре Вейля и Пьера Картье), эти понятия эквивалентны в случае многообразий (или схем) без особенностей.


Дивизоры Вейля[ | ]

Определение[ | ]

Дивизор Вейля на алгебраическом многообразии (или, более общо, на нётеровой схеме) — это конечная линейная комбинация , где  — неприводимые замкнутые подмножества , а  — целые коэффициенты. Очевидно, что дивизоры Вейля образуют абелеву группу относительно сложения; эту группу обозначают . Дивизор вида называется простым, а дивизор, для которого все коэффициенты неотрицательны — эффективным.

Группа классов дивизоров[ | ]

Предположим, что схема является целой, отделимой, и регулярной в коразмерности 1 (в частности, эти свойства выполняются для гладких алгебраических многообразий). Регулярность в коразмерности 1 означает, что локальное кольцо общей точки любого неприводимого замкнутого подмножества коразмерности 1 регулярно (и нётерово, так как является локализацией нётерова кольца), а следовательно, является кольцом дискретного нормирования. Любая рациональная функция на (элемент поля частных кольца регулярных функций ) имеет некоторую норму в этом кольце. Если норма рациональной функции больше нуля для некоторого неприводимого подмножества , то говорят, что рациональная функция имеет ноль на , а если меньше нуля — имеет полюс. Из нётеровости схемы выводится, что норма рациональной функции не равна нулю лишь для конечного числа неприводимых подмножеств, таким образом каждой рациональной функции сопоставляется дивизор, обозначаемый . Дивизоры, которые можно получить таким образом, называют главными.

Поскольку , главные дивизоры образуют подгруппу в . Факторгруппа по подгруппе главных дивизоров называется группой классов дивизоров и обозначается . Группа классов дивизоров сама по себе является интересным инвариантом схемы (тривиальность группы классов аффинной схемы является критерием факториальности кольца при условии, что нётерово и целозамкнуто)[1], а также, в некоторых случаях, позволяет классифицировать все одномерные расслоения над данной схемой.

Дивизоры Вейля и линейные расслоения[ | ]

Пусть  — линейное расслоение над (целой, нётеровой, регулярной в коразмерности 1) схемой ; ему соответствует пучок сечений, локально изоморфный кольцу регулярных функций на . Используя эти изоморфизмы, любому рациональному сечению данного пучка (то есть сечению над некоторым открытым плотным подмножеством) можно сопоставить дивизор его нулей и полюсов, обозначаемый [2]. Два различных рациональных сечения отличаются умножением на рациональную функцию, поэтому это сопоставление определяет корректно заданное отображение из группы Пикара[en] в группу классов дивизоров: . Можно проверить также, что это отображение является гомоморфизмом (тензорному произведению расслоений соответствует сумма дивизоров), в случае нормальности схемы оно инъективно, а в случае локальной факториальности схемы — сюръективно[3]. В частности, все эти условия выполняются для гладких алгебраических многообразий, что даёт классификацию линейных расслоений над ними с точностью до изоморфизма. Например, все одномерные расслоения над аффинной локально факториальной схемой тривиальны, так как тривиальна её группа классов дивизоров.

Дивизоры Картье[ | ]

Для работы с произвольными схемами, имеющими особенности, часто оказывается более удобным другое обобщение понятия подмногообразия коразмерности 1[4]. Пусть  — некоторое покрытие схемы аффинными схемами, а  — семейство рациональных функций на соответствующих (в данном случае под рациональной функцией подразумевается элемент полного кольца частных). Если эти функции согласованы, в том смысле что и на отличаются умножением на обратимую регулярную функцию, то данное семейство задаёт дивизор Картье.

Более точно, пусть  — полное кольцо частных кольца регулярных функций (где  — произвольное аффинное[5] открытое подмножество). Так как аффинные подмножества образуют базу топологии , все однозначно определяют предпучок на , соответствующий ему пучок обозначается . Дивизором Картье называется глобальное сечение факторпучка , где  — пучок обратимых регулярных функций. Имеется точная последовательность , применив к ней точный слева функтор глобальных сечений, получим точную последовательность . Дивизоры Картье, лежащие в образе отображения из , называются главными.

Существует естественный гомоморфизм из группы дивизоров Картье (групповая операция соответствует умножению функций) в группу дивизоров Вейля; если  — целая отделимая нётерова схема, все локальные кольца которой факториальны, это отображение является изоморфизмом. В случае же, когда условие локальной факториальности не выполняется, дивизоры Картье соответствуют локально главным дивизорам Вейля (дивизорам, которые в окрестности каждой точки задаются как нули некоторой рациональной функции). Пример дивизора Вейля, не являющегося дивизором Картье — прямая в квадратичном конусе , проходящая через его вершину.

Дивизору Картье, как и дивизору Вейля, можно сопоставить линейное расслоение (или, эквивалентно, обратимый пучок). Отображение из факторгруппы дивизоров Картье по подгруппе главных дивизоров в группу Пикара является инъективным гомоморфизмом, а в случае проективных или целых схем — сюръективным.

Эффективные дивизоры Картье[ | ]

Дивизор Картье называется эффективным, если все задающие его функции регулярны на соответствующих множествах . В этом случае соответствующий дивизору обратимый пучок является пучком идеалов[en], то есть пучком функций, зануляющихся на некоторой замкнутой подсхеме. Обратно, эта замкнутая подсхема однозначно определяет эффективный дивизор, поэтому эффективные дивизоры Картье на можно определить как замнутые подсхемы , которые локально можно задать как множество нулей одной функции, не являющейся делителем нуля[6]. На целой отделлимой нётеровой схеме, локальные кольца которой факториальны, эффективные дивизоры Картье соответствуют в точности эффективным дивизорам Вейля[7].

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

  • Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
  • Kleiman, Steven. Misconceptions about KX // L'Enseignment Mathématique. — 1979. — № 25. — P. 203-206. — doi:10.5169/seals-50379.

Ссылки[ | ]