Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.


Определение[ | ]

Квадратная матрица , где для всяких , называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица имеет вид:

Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной.

Обозначение[ | ]

Диагональная матрица c элементами , стоящими на главной диагонали, обозначается следующим образом:

.

Свойства[ | ]

  • Диагональная матрица является симметричной:
.
  • Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.
  • Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:
.

Примеры[ | ]

Нулевая матрица

и единичная матрица

представляют собой простейшие примеры диагональных матриц.

Скалярная матрица является диагональной матрицей, у которой все элементы главной диагонали равны:

Приведение к диагональной форме[ | ]

Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса. Достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы. В общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме.

Литература[ | ]

См. также[ | ]