Делимая абелева группа

Делимая группа — это группа ${\displaystyle G}$, такая что для любых ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle g\in G}$ уравнение

${\displaystyle x^{n}=g}$

разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как ${\displaystyle nx=g}$.

Группа ${\displaystyle A}$ называется ${\displaystyle p}$-делимой (${\displaystyle p}$ — простое число), если для любого ${\displaystyle a\in A}$ разрешимо в ${\displaystyle A}$ уравнение ${\displaystyle px=a}$.

Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).

Примеры[ | ]

• Группа ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ всех рациональных чисел;
• ${\displaystyle p}$-примарная квазициклическая группа ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p^{\infty }},+)}$, то есть группа, порожденная счетным набором элементов ${\displaystyle a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n},\,\ldots }$, удовлетворяющих условию

${\displaystyle pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots ,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots }$

Свойства делимых групп[ | ]

• Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
• Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она ${\displaystyle p}$-делима при каждом простом ${\displaystyle p}$.
• Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
  • Следовательно, делимые абелевы группы являются инъективными объектами в категории абелевых групп (${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любой областью главных идеалов.
• Любая абелева группа ${\displaystyle A}$ разлагается в прямую сумму ${\displaystyle A=D\oplus R}$, где ${\displaystyle D}$ — делимая группа (она называется делимой частью группы ${\displaystyle A}$), а ${\displaystyle R}$ — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.

Строение делимых групп[ | ]

Если ${\displaystyle A}$ — произвольная делимая абелева группа, то

${\displaystyle A\cong \bigoplus \limits _{r_{0}(A)}\mathbb {Q} \oplus \bigoplus \limits _{p\in P}\bigoplus \limits _{r_{p}(A)}\mathbb {Z} _{p^{\infty }}}$.

Связанные определения[ | ]

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.

Литература[ | ]

• Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
• А. Г. Курош Теория групп. — М.: Физматлит, 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6.