Делимая абелева группа

Делимая группа — это группа , такая что для любых и уравнение

разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как .

Группа называется -делимой ( — простое число), если для любого разрешимо в уравнение .

Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).


Примеры[ | ]

  • Группа всех рациональных чисел;
  • -примарная квазициклическая группа , то есть группа, порожденная счетным набором элементов , удовлетворяющих условию

Свойства делимых групп[ | ]

  • Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
  • Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она -делима при каждом простом .
  • Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
  • Любая абелева группа разлагается в прямую сумму , где  — делимая группа (она называется делимой частью группы ), а  — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.

Строение делимых групп[ | ]

Если  — произвольная делимая абелева группа, то

.

Связанные определения[ | ]

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.

Литература[ | ]

  • Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
  • А. Г. Курош Теория групп. — М.: Физматлит, 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6.