Двойственность (теория категорий)

Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.


Формальное определение[ | ]

Язык теории категорий определяется как язык первого порядка с двумя видами символов — объектами и морфизмами, со свойством объекта быть образом или прообразом морфизма, а также с символом для композиции морфизмов.

Пусть σ — любое слово языка. Двойственное ему слово σop образуется следующими правилами:

  • поменять местами все «образы» на «прообразы» в σ,
  • обратить порядок композиции морфизмов, то есть все вхождения заменить на .

Иными словами, необходимо обратить все стрелки и переставить аргументы всех композиций.

Двойственность — это наблюдение, что σ выполняется в некоторой категории C тогда и только тогда, когда σop выполнено в Cop.

Примеры[ | ]

  • Морфизм  — мономорфизм, когда из следует . Применив операцию двойственности, получаем утверждение о том, что из следует . Для морфизма , это значит в точности то, что f — эпиморфизм. Таким образом, свойство «быть мономорфизмом» двойственно свойству «быть эпиморфизмом».
  • Предел и копредел — двойственные понятия.
  • Начальный объект и терминальный объект — двойственные понятия.

Литература[ | ]

  • И. М. Виноградов. Двойственная категория // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  • И. М. Виноградов. Двойственности принцип // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  • И. М. Виноградов. S-двойственность // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  • Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.