Двойно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: тройное векторное произведение) векторов
— векторное произведение вектора
на векторное произведение векторов
и
В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным[1] (по числу векторов), так и двойным[2] (по числу операций умножения).
Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа:
которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».
Другой вариант доказательства использует разложение векторного произведения по компонентам с помощью тензора Леви-Чивиты :
(здесь и ниже по повторяющимся индексам производится суммирование, т.е. см. соглашение Эйнштейна о суммировании).
Использовано соотношение где
— символ Кронекера. Далее,
Здесь использовано свойство дельты Кронекера, позволяющее заменять индекс, по которому идет суммирование с дельтой: Таким образом,
и, переходя от компонентов ко всему вектору, получаем искомое соотношение.
Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби:
которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа:
![]() Векторы и матрицы | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Векторы |
| ||||||||
Матрицы |
| ||||||||
Другое |