Гомоморфизм

Гомоморфизм (от др.-греч. ὁμός — равный, одинаковый и μορφή — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем, то есть — отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные отношения.

Определение[ | ]

Отображение ${\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2}}$ называется гомоморфизмом групп ${\displaystyle (G_{1},*)}$, ${\displaystyle (G_{2},\times )}$, если оно одну групповую операцию переводит в другую: ${\displaystyle f(a*b)=f(a)\times f(b)}$.

Понятие гомоморфизма, как соотношение между парой алгебраических систем, начало использоваться в работах немецкого математика Фробениуса, а обобщённое определение было сформулировано Эмми Нётер в 1929 году. Частными случаями гомоморфизма являются изоморфизм и автоморфизм^[1]. Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма предложена известной группой французских математиков Николя Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава IV, § 2).

Связанные определения[ | ]

• Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
• Ядро гомоморфизма
  • для гомоморфизма абелевых групп (в частности для колец, векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля,
  • для общих групп — прообраз единицы.

Свойства[ | ]

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).

Типы гомоморфизмов[ | ]

• Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
• Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
• Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм

• Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
• Автоморфизм — изоморфизм на само множество

См. также[ | ]

• Факторгруппа

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, с. 332 (1974, с. 373).

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.