Гомологическая алгебра

Гомологическая алгебра — ветвь алгебры, изучающая алгебраические объекты, заимствованные из алгебраической топологии.

Гомологическая алгебра играет важную роль в алгебраической топологии, применяется во многих разделах алгебры, таких, как теория групп, теория алгебр, алгебраическая геометрия, теория Галуа.


История[ | ]

Первыми гомологические методы в алгебре применили в 40-х годах XX века Дмитрий Константинович Фаддеев, Самуэль Эйленберг и Саундерс Маклейн при изучении расширений групп.

Цепной комплекс[ | ]

Основная статья: Цепной комплекс

Цепной комплекс — это градуированный модуль с дифференциалом , , понижающим градуировку для цепного комплекса, , или повышающим градуировку для коцепного комплекса, .

Одним из основных понятий гомологической алгебры является цепной комплекс. Цепные комплексы возникают в различных разделах математики: в алгебраической топологии, коммутативной алгебре, алгебраической геометрии. Изучение общих свойств комплексов — одна из основных задач гомологической алгебры.

Резольвента[ | ]

Проективной резольвентой модуля , называется левый комплекс , в котором все проективны и гомологии которого равны нулю, кроме нулевых.

Проективные резольвенты используются для вычисления функторов Torn(A, C) и Extn(A, C). Резольвенты возникли в алгебраической топологии для вычисления гомологий топологического произведения по гомологиям сомножителей по формуле Кюннета.

Производные функторы[ | ]

Литература[ | ]

  • А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
  • С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
  • Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
  • Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.