Гипотеза Эйлера

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы -х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

не имеют решения в натуральных числах.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.


Контрпримеры[ | ]

n = 5[ | ]

В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж[en] нашли первый контрпример для n = 5:[1][2]

n = 4[ | ]

В 1986 году Элкис (англ.) нашёл контрпример для случая n = 4:[3][4]

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:[5][4]

Обобщения[ | ]

В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж[en] высказали гипотезу, что если , где — положительные целые числа, , то .

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если , то .

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству , где , называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet[6] и [email protected].

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
  2. L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge (1967). «A survey of equal sums of like powers» (PDF). Math. Comp. 21: 446–459. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0.
  3. Noam Elkies (1988). «On A4 + B4 + C4 = D4» (PDF). Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835. doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. JSTOR 2008781. MR 0930224.
  4. 1 2 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project, 2011, препринт.
  5. Frye, Roger E. (1988), "Finding 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, сс. 106–116, DOI 10.1109/SUPERC.1988.74138 
  6. EulerNet.

Ссылки[ | ]