Время Ляпунова

Время Ляпунова — время, за которое система приводится к полному хаосу. Определяется как число, обратное к наибольшей из экспонент Ляпунова[en] системы[1]. Названо в честь математика А. М. Ляпунова.

Применение[ | код]

Время Ляпунова отражает пределы предсказуемости системы. Оно определено как время, за которое расстояние между соседними траекториями системы возрастает в e раз. Иногда говорят о возрастании расстояния между траекториями в 2 или в 10 раз, имея при этом в виду потерю одного двоичного или десятичного разряда[2].

Понятие применяется во многих приложениях теории динамических систем, в особенности в небесной механике, где оно имеет большое значение для вопроса об устойчивости Солнечной системы. Эмпирические оценки времени Ляпунова часто рассматриваются как подверженные неопределённости[3][4].

Согласно И. Пригожину, «время Ляпунова позволяет нам ввести внутренний „масштаб времени“ для хаотических систем, то есть интервал времени, в течение которого выражение „две одинаковые“ системы, соответствующие одним и тем же начальным условиям, сохраняет смысл (допускает в определённой мере предсказание). После достаточно продолжительного по сравнению с временем Ляпунова периода эволюции, память о начальном состоянии системы полностью утрачивается: задание начального состояния не позволяет более определить траекторию»[5].

Примеры[ | код]

Некоторые примеры оценок времени Ляпунова[2]:

Система Время Ляпунова
Солнечная система 50 млн лет
Орбита Плутона 20 млн лет
Наклон оси вращения Марса 1-5 млн лет
орбита (36) Аталанта 4 тыс. лет
Обращение Гипериона вокруг своей оси 36 дней
Химические хаотические осцилляции 5,4 минуты
Гидродинамические хаотические осцилляции 2 секунды
1  см³ аргона при комнатной температуре 3,7×10−11 секунды
1  см³ аргона в тройной точке 3,7×10−16 секунды

Примечания[ | код]

  1. Boris P. Bezruchko, Dmitry A. Smirnov, Extracting Knowledge From Time Series: An Introduction to Nonlinear Empirical Modeling, Springer, 2010, pp. 56—57
  2. 1 2 Pierre Gaspard, Chaos, Scattering and Statistical Mechanics, Cambridge University Press, 2005. p. 7
  3. G. Tancredi, A. Sánchez, F. ROIG. A comparison between methods to compute Lyapunov Exponents. The Astronomical Journal, 121:1171-1179, 2001 February
  4. E. Gerlach, On the Numerical Computability of Asteroidal Lyapunov Times, http://arxiv.org/abs/0901.4871
  5. Пригожин И. Время, хаос и законы природы // msu.ru. — 1995.