Вариация отображения

Вариация отображения — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами.

Понятие «вариация отображения» было определено С. Банахом[1].


Двухмерный случай[ | ]

Рассмотрим определение вариации отображения для двухмерного случая.

Пусть дано отображение

где и  — непрерывные на квадрате функции. Говорят, что отображение имеет ограниченную вариацию, если существует число такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов со сторонами, параллельными осям координат , справедливо неравенство

где  — образ множества при отображении ,

 — плоская мера Лебега множества .

Численное значение вариации отображения может быть определено различными способами. Например, если отображение имеет ограниченную вариацию, то его вариация может быть определена по формуле:

где  — число решений системы , или так называемая индикатриса Банаха отображения .

Было показано[2], что если отображение имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на существует обобщённый якобиан , где , который интегрируем на . При этом

где  — квадрат, содержащий точку , стороны которого параллельны осям ;

 — образ множества ;

 — плоская мера Лебега множества .

Литература[ | ]

  • Лаврентьев, М. А., Шабат, Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
  • Гриффитс, Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. — М.: Мир, 1986. — 360 с.
  • Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4..

Примечания[ | ]

  1. Banach S. Fundamenta Mathematicae. — 1925. — t. 7. — p. 225—-236.
  2. Кудрявцев Л. Д. Метрические вопросы теории функций и отображений. — в. 1. — К., 1969. — с. 34—108