Борелевская сигма-алгебра

Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими.

Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает вещественная прямая.

Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Названа в честь Эмиля Бореля.


Связанные понятия[ | ]

  • Борелевское пространство — топологическое пространство, снабжённое борелевской сигма-алгеброй.
  • Борелева (борелевская) функция — отображение одного топологического пространства в другое (обычно оба суть пространства вещественных чисел), для которого прообраз любого борелевского множества есть борелевское множество.
  • Мера Бореля — мера определённая на всех открытых (а значит, и на всех борелевских) множествах топологического пространства.

Свойства[ | ]

  • Всякое борелевское множество на отрезке является измеримым относительно меры Лебега, но обратное неверно.

Пример измеримого по Лебегу, но не борелевского множества[ | ]

Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое может не быть борелевским.

Рассмотрим функцию на отрезке , где  — канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Также измерима обратная к ней функция. Мера образа канторова множества равна , так как мера образа его дополнения равна . Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество . Тогда его прообраз будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе было бы измеримо как прообраз борелевского множества при измеримом отображении ).

Литература[ | ]