Бинарная операция

Бина́рная опера́ция (от лат. bi «два»), или двуме́стная опера́ция, — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).


Определение[ | ]

Пусть  — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре со значениями в называется отображение .

Пусть  — непустое множество. Бинарной операцией на множестве , или внутренней бинарной операцией, называют отображение .

Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.

Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида или (внешними законами композиции).

Если , то действие называется внутренним, если или  — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание[ | ]

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции результат её применения к двум элементам и записывается в виде .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

Типы бинарных операций[ | ]

Коммутативная операция[ | ]

Основная статья: Коммутативная операция

Бинарная операция называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

Ассоциативная операция[ | ]

Основная статья: Ассоциативная операция

Бинарная операция называется ассоциативной, если

Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение при однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативная операция.

Дистрибутивная операция[ | ]

Основная статья: Дистрибутивность

Дистрибутивность (распределительный закон) — свойство согласованности ассоциативной и коммутативной операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что бинарная операция «×» является дистрибутивной относительно бинарной операции «+», если они удовлетворяют следующим двум тождествам:

дистрибутивность слева;
дистрибутивность справа.

Если операция «×» является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа равносильны.

Примеры[ | ]

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи[ | ]

Мультипликативная запись[ | ]

Если абстрактную бинарную операцию на называют умноже́нием, то её результат для элементов называют их произведе́нием и обозначают или . В этом случае нейтральный элемент , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись[ | ]

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов называют су́ммой и обозначают . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

Обратная операция[ | ]

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента, либо эти нейтральные элементы равны.

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.

См. также[ | ]

Литература[ | ]

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.