Беспорядок (перестановка)

В комбинаторике беспорядком называется перестановка без неподвижных точек.

Примеры[ | ]

Проверка работ[ | ]

Допустим, профессор дал четырём студентам (назовём их A, B, C и D) контрольную, а затем предложил им проверить её друг у друга. Естественно, ни один студент не должен проверять свою контрольную. Сколько у профессора вариантов распределения контрольных, в которых ни одному студенту не достанется своя работа? Из всех 24 перестановок (4!) для возврата работ, нам подходят только 9 беспорядков:

   BADC, BCDA, BDAC,
   CADB, CDAB, CDBA,
   DABC, DCAB, DCBA.

В любой другой перестановке этих 4 элементов как минимум один студент получает свою контрольную на проверку.

Задача о письмах[ | ]

Вычисление количества беспорядков является популярной задачей в олимпиадной математике, которая встречается в разных формулировках таких как задача о беспорядке, задача о письмах, задача о встречах и так далее.

Если ${\displaystyle n}$ писем случайным образом положить в ${\displaystyle n}$ различных конвертов, то какова вероятность, что какое-нибудь из писем попадёт в свой конверт?

Ответ даётся выражением

${\displaystyle 1-{\frac {!n}{n!}}\approx 1-{\frac {1}{e}}.}$

Таким образом, ответ слабо зависит от количества писем и конвертов и примерно равен константе ${\displaystyle 1-{\frac {1}{e}}\approx 0{,}63212}$.

Количество беспорядков[ | ]

Количество всех беспорядков порядка n может быть вычислено с помощью принципа включения-исключения и дается выражением

${\displaystyle !n=n!-{\frac {n!}{1!}}+{\frac {n!}{2!}}-{\frac {n!}{3!}}+\dots +(-1)^{n}{\frac {n!}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}},}$

которое называется субфакториалом числа n.

Количество беспорядков ${\displaystyle !n=d(n)}$ удовлетворяет рекурсивным соотношениям

${\displaystyle d(n)=(n-1)[d(n-1)+d(n-2)]}$

и

${\displaystyle d(n)=nd(n-1)+(-1)^{n},}$

где ${\displaystyle d(1)=0}$ и ${\displaystyle d(2)=1}$.

Ввиду того, что ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{e}}}$, значение ${\displaystyle !n}$ с ростом ${\displaystyle n}$ ведёт себя как ${\displaystyle {\frac {n!}{e}}}$. Более того, при ${\displaystyle n>0}$ его можно представить как результат округления числа ${\displaystyle {\frac {n!}{e}}}$.

См. также[ | ]

• Парадокс дней рождения

Ссылки[ | ]

• Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — С. 107-108.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.