Артинов модуль

Артинов модуль — модуль над кольцом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей. Символически, модуль артинов, если всякая последовательность его подмодулей:

стабилизируется, то есть начиная с некоторого выполнено:

.

Это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей существует минимальный элемент.

Если — артинов, то любой его подмодуль и любой его фактормодуль артиновы. Обратно, если подмодуль и фактормодуль артиновы, то и сам модуль артинов.

Названы в честь Эмиля Артина, наряду с подобными общеалгебраическими структурами с условиями обрыва убывающих цепей (артинова группа, артиново кольцо), и двойственными «нётеровым» структурам с условием обрыва возрастающих цепей (нётеров модуль, нётерова группа, нётерово кольцо). В частности, ассоциативное кольцо с единичным элементом называется артиновым, если оно является артиновым -модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов, для некоммутативного случая соответственно левых или правых).


Литература[ | ]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М: ИЛ, 1963.
  • Ленг С. Алгебра. — М: Мир, 1968.