Алгебра (теория множеств)

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества , замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).


Определение[ | ]

Семейство подмножеств множества (здесь  — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. Если множество , то и его дополнение
  2. Объединение двух множеств также принадлежит

Замечания[ | ]

  • По определению, если алгебра содержит множество , то она содержит и его дополнение. Объединением с его дополнением является исходное множество . Дополнением к множеству является пустое множество. Это означает, что множество и пустое множество содержится в алгебре по определению.
  • В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
  • Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
  • Если исходное множество является пространством элементарных событий, то алгебра называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событий[ | ]

Алгебра событийтеории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

Событие или , заключающееся в том, что из двух событий и происходит по крайней мере одно, называется суммой событий и .

Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности , то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где .

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. также[ | ]

Литература[ | ]