Алгебра над полем — это векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.
Определение[ | ]
Пусть
— векторное пространство над полем
, снабжённое операцией
, называемой умножением. Тогда
является алгеброй над
, если для любых
выполняются следующие свойства:


.
Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:
- Алгебра с единицей над полем
— это кольцо с единицей
, снабжённое гомоморфизмом колец с единицей
, таким, что
принадлежит центру кольца
(то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что
является векторным пространством над
со следующей операцией умножения на скаляр
:
.
Связанные определения[ | ]
- Гомоморфизм
-алгебр — это
-линейное отображение, такое что
для любых
из области определения.
- Подалгебра алгебры над полем
— это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй
линейной алгебры
над полем
называется её подмножество если оно является подкольцом кольца
и подпространством линейного пространства
[1].
- Элемент алгебры называется алгебраическим, если он содержится в конечномерной подалгебре.
- Алгебра называется алгебраической, если все её элементы алгебраические.[2]
- Левый идеал
-алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
- Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов
и
уравнения
и
разрешимы[3]. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
- Центр алгебры
— это множество элементов
, таких что
для любого элемента
.
Примеры[ | ]
Ассоциативные алгебры[ | ]
- Комплексные числа естественным образом являются двумерной алгеброй над вещественными числами.
- Кватернионы являются четырёхмерной алгеброй над вещественными числами.
- Предыдущие два примера являются полем и телом соответственно, и это не случайно: любая конечномерная алгебра над полем, не имеющая делителей нуля, является алгеброй с делением. Действительно, умножение на
слева является линейным преобразованием этой алгебры как векторного пространства, у этого преобразования нулевое ядро (так как
не является делителем нуля), следовательно, оно сюръективно; в частности, существует прообраз произвольного элемента
, то есть такой элемент
, что
=
. Второе условие доказывается аналогично.
- Коммутативная (и бесконечномерная) алгебра многочленов
.
- Алгебры функций, такие как
-алгебра вещественнозначных непрерывных функций, определённых на интервале (0, 1), или
-алгебра голоморфных функций, определённых на зафиксированном открытом подмножестве комплексной плоскости.
- Алгебры линейных операторов на гильбертовом пространстве.
Неассоциативные алгебры[ | ]
Структурные коэффициенты[ | ]
Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем
достаточно указать её размерность
и
структурных коэффициентов
, являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

где
— некоторый базис
. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.
Если
— только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра
является свободным модулем.
См. также[ | ]
Примечания[ | ]
Литература[ | ]