Алгебра над полем

Алгебра над полем — это векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.


Определение[ | ]

Пусть  — векторное пространство над полем , снабжённое операцией , называемой умножением. Тогда является алгеброй над , если для любых выполняются следующие свойства:

  • .

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем  — это кольцо с единицей , снабжённое гомоморфизмом колец с единицей , таким, что принадлежит центру кольца (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что является векторным пространством над со следующей операцией умножения на скаляр : .

Связанные определения[ | ]

  • Гомоморфизм -алгебр — это -линейное отображение, такое что для любых из области определения.
  • Подалгебра алгебры над полем  — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй линейной алгебры над полем называется её подмножество если оно является подкольцом кольца и подпространством линейного пространства [1].
    • Элемент алгебры называется алгебраическим, если он содержится в конечномерной подалгебре.
    • Алгебра называется алгебраической, если все её элементы алгебраические.[2]
  • Левый идеал -алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
  • Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов и уравнения и разрешимы[3]. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
  • Центр алгебры  — это множество элементов , таких что для любого элемента .

Примеры[ | ]

Ассоциативные алгебры[ | ]

Неассоциативные алгебры[ | ]

Структурные коэффициенты[ | ]

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем достаточно указать её размерность и структурных коэффициентов , являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

где  — некоторый базис . Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если  — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра является свободным модулем.

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

  1. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. - М., Наука, 1986. - с. 190
  2. Джекобсон Н. Строение колец. — М.: ИЛ, 1961. — 392 с.
  3. Кузьмин Е. Н. Алгебра с делением Архивная копия от 14 июля 2015 на Wayback Machine

Литература[ | ]