Σ-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.


Определение[ | ]

Семейство подмножеств множества называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам[1]:

  1. содержит множество .
  2. Если , то и его дополнение .
  3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из принадлежит

Пояснения[ | ]

  • Поскольку
в пункте 3, достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало .
  • Для любой системы множеств существует наименьшая сигма-алгебра , являющаяся её надмножеством.
  • Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на , то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
  • σ-алгебра, порождённая случайной величиной , определяется следующим образом:
,
где  — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве , относительно которой случайная величина всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции её можно ввести и наделить таким образом пространство структурой измеримого пространства, так что функция будет измеримой.

Измеримое пространство[ | ]

Измеримое пространство — это пара , где  — множество, а  — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры[ | ]

  • Борелевская сигма-алгебра
  • Для любого множества существует тривиа́льная σ-алгебра , где  — пустое множество.
  • Для любого множества существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

Примечания[ | ]

  1. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. - 496 стр.

Литература[ | ]

  • Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.