0 (число)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
  • «Существуют две формы: ноль и нуль. В терминологическом значении (особенно в косвенных падежах) обычно используется вторая, например: равняется нулю, температура держится на нуле»[1].
  • «…производное прилагательное обычно образуется от формы нуль, например: нулевой меридиан, нулевая отметка»[1].

0 (ноль, нуль от лат. nullus — никакой) — число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее, то есть дает результат, равный этому последнему; произведение любого числа на нуль дает нуль[2].

Большой толковый словарь Кузнецова (2009)[3] приводит обе формы: ноль, нуль — как равнозначные. Однако из приведенных там примеров видно, что некоторое различие есть: форма ноль используется преимущественно в именительном падеже, имеются также иные указания на это правило (см. врезку).

Основные свойства нуля

<math>0/a = 0</math> при <math>a \neq 0</math>.

Деление на ноль

В самом деле, если обозначить <math>\frac{a}{0} = b</math>, то по определению деления формально должно быть <math>b \cdot 0 = a</math>, в то время как выражение <math>b \cdot 0</math>, при любом комплексном <math>b</math>, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного в поле комплексных чисел.
  • Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам[4], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам (так как натуральные числа там понимаются как числа, используемые при счёте, а 0 при счёте не используется), хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело).

Обобщения

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в высшей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера <math>n\times n</math> является нулевым элементом кольца квадратных матриц <math>M_n(R)</math>. Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, <math>p(x)\equiv 0</math>.

Ноль в математике (продолжение)

  • При возведении любого числа, кроме нуля, в нулевую степень получается <math>1</math>: <math>a^0 = 1</math> при <math>a \neq 0</math>.
  • Факториал нуля равен единице: <math>0! = 1</math>.

Математический анализ

  • При вычислении предела отношения <math>(a/b)</math>, где <math>a \rightarrow 0</math> и <math>b \rightarrow 0</math>, возникает раскрытие неопределённостей <math>(0/0)</math>. Более того, в математическом анализе при рассмотрении стремящихся к нулю величин, <math>a \rightarrow 0</math> и <math>b \rightarrow 0</math>, возможны семь неопределенных ситуаций, в четырёх из которых формально присутствует ноль: <math>\left ( \frac{0}{0} \right )</math>, <math>(0^0)</math>, <math>(\infty^0)</math>, <math>(0\cdot\infty)</math>.
  • Также возможна вполне определенная ситуация, когда рассматривается предел бесконечно малой величины справа или слева:
  • Правый предел: <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{} +\infty</math>.
  • Левый предел: <math>\lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{} -\infty</math>.

Геометрия

  • Точка с нулевыми координатами на плоскости именуется началом координат.
  • Точно так же именуется аналогичная точка в трехмерном пространстве (и в пространстве любой размерности).
  • Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
  • На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

История использования нуля

Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля, начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше.

Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. ονδεν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление нуля, однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г., он имеет вид привычного нам кружочка.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

Ноль в других областях науки и техники

Ноль постоянно используется как начало отсчёта. Примеры весьма многочисленны.

Ноль в языке и культуре

  • «Мы почитаем всех нулями, а единицами - себя» — цитата из поэмы Пушкина «Евгений Онегин»[5] (глава 2, строфа 14), употребляется иронически, когда говорят о чьем-либо завышенном самомнении и пренебрежительном отношении к окружающим [6].
  • На нуле — отсутствие чего-либо. Например, «финансы на нуле» (разговорное употребление)[7].
  • Ноль в переносном значении означает ничтожного, незначительного человека, например: «Он абсолютный ноль»[7].
  • Выражение ноль без палочки, когда идёт речь о человеке, означает, что он не имеет никакого влияния, значения (разговорное и шутливое употребление)[7], а также некомпетентного, глупого человека[8].
  • Ноль внимания — отсутствие внимания[7].
  • Выражение ноль-ноль, употребляемое после указания часа суток, означает: ровно в таком-то часу, без минут[7].
  • С нуля начинать — начинать на пустом месте (разговорное употребление)[7].

См. также

Ссылки

Примечания

  1. а б Д. Э. Розенталь. Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. Глава X. Правописание имен числительных. М.: ЧеРо, 1999.
  2. НУЛЬ // Большой Энциклопедический словарь. 2000.
  3. Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.
  4. The historical roots of elementary mathematics. — Courier Dover Publications, 1976. — P. 254–255. — ISBN 0-486-13968-9., Extract of pages 254–255
  5. Крылатые фразы // Сводная энциклопедия афоризмов. Академик. 2011.
  6. Мы почитаем всех нулями, / А единицами — себя // Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений. — М.: «Локид-Пресс». Вадим Серов. 2003.
  7. а б в г д е ноль // Толковый словарь иностранных слов Л. П. Крысина.- М: Русский язык, 1998.
  8. нуль // Словарь русского арго. — ГРАМОТА.РУ. В. С. Елистратов. 2002.

Шаблон:Навигационная таблица</math>) • ПериодыВычислимыеАрифметические

|заголовок2=
Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • АльтернионыДуальныеГиперкомплексныеСупердействительныеГиперреальныеШаблон:Нп5

|заголовок3=
Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — ДиксонаТеорема ФробениусаТеорема Гурвица

|заголовок4=
Иерархия чисел
|список4=
Шаблон:Иерархия чисел
|заголовок5=
Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числаПорядковые числа (трансфинитные, ординал)p-адическиеСупернатуральные числа

|заголовок6=
См. также

|список6=Двойные числаИррациональные числаТрансцендентныеЧисловой лучБикватернион

}}

Шаблон:Ambox[[Категория:Википедия:Статьи к доработке Шаблон:Rq/topics/getcategory]]